Liniowe równania różniczkowe rzędu pierwszego
Liniowym niejednorodnym równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci
gdzie \( p(t),\,\,q(t) \) - wiadome funkcje, przy czym zakładamy że \( q(t) \) nie równa się tożsamosciowo zeru.
Stowarzyszonym równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci
Po przemnożeniu tego równania przez \( \frac{dt}{{\overset{\circ}{x}}} \) otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych:
Stąd, po stałkowaniu otrzymjemy
Rozwiązanie problemu niejednorodnego uzyskujemy metodą uzmienniania stałej. Polega ona na zamianie stałej \( C \) w
powyższeym wzorze przez pewną nieznaną funkcję \( C(t) \).
Rozwiązanie poszukujemy w postaci \( x(t)=C(t)\,e^{-F(t)} \), \( F(t)=\int{p(t)\,d\,t} \). Po
podstawieniu do równania wyjściowego otrzymamy:
Zatem \( C(t)=C_0+\int{q(t)\,e^{{}F(t)}\,d\,t } \). Stąd już łatwo można otrzymać postać rozwiązania ogólnego problemu niejednorodnego:
Przykład 1:
Z postaci równania odczytujemy że \( p(t)=1 \), natomiast \( q(t)=t \). Do policzenia mamy całkę
oraz całkę
Rozwiązanie
Rozwiązanie ogólne równania ( 2 ) ma postać \( x(t)=e^{-t}(C_0+e^t(t-1)). \)